Cuántas partidas de ajedrez son posibles o número de Shannon

El número de Shannon, llamado así por el matemático estadounidense Claude Shannon, es un límite inferior conservador de la complejidad del árbol de juego del ajedrez de 10¹²⁰, basado en un promedio de aproximadamente 10³ posibilidades para un par de movimientos que consisten en un movimiento para las blancas seguido de un movimiento para las negras, y un juego típico que dura alrededor de 40 pares de movimientos. 

Ese índice de Claude Shannon de valor 10^120 es muy superior al número estimado de átomos del universo observable, que es del orden de 10^80. Dicho cálculo es el producto de número de átomos por estrella (10^57) multiplicado por el supuesto número de estrellas en el universo (10^23).

Cálculo de Shannon

Shannon mostró un cálculo para el límite inferior de la complejidad del árbol de juego del ajedrez, lo que resultó en alrededor de 10^120 partidas posibles, para demostrar la impracticabilidad de resolver el ajedrez por la fuerza bruta, en su artículo de 1950 "Programming a Computer for Playing Chess". (Este influyente artículo introdujo el campo del ajedrez informático).

Shannon también estimó el número de posiciones posibles, "del orden general de ${\displaystyle \frac{64!}{32!{8!}^2{2!}^6}}$, o aproximadamente 10⁴³". Esto incluye algunas posiciones ilegales (por ejemplo, peones en la primera fila, ambos reyes en jaque) y excluye las posiciones legales después de capturas y ascensos.

Nº capas	Número de posiciones posibles	Número de jaque mate
1	20	0
2	400	0
3	8.902	0
4	197.281	8
5	4.865.609	347
6	119.060.324	10.828
7	3.195.901.860	435.767
8	84.998.978.956	9.852.036
9	2.439.530.234.167	400.191.963
10	69.352.859.712.417	8.790.619.155
11	2.097.651.003.696.806	362.290.010.907
12	62.854.969.236.701.747	8.361.091.858.959
13	1.981.066.775.000.396.239	346.742.245.764.219
14	61.885.021.521.585.529.237

Después de que cada jugador haya movido una pieza 5 veces cada uno (10 capas) hay 69.352.859.712.417 partidas posibles que podrían haberse jugado.

Límites más estrictos

Superior

Teniendo en cuenta los números de Shannon, Victor Allis calculó un límite superior

 de 5×10⁵² para el número de posiciones, y estimó que el número real era de alrededor de 10⁵⁰. Los resultados recientes[5] mejoran esa estimación, al demostrar un límite superior de 8,7 x 10⁴⁵, y mostrar un límite superior de 4×10³⁷ en ausencia de promociones.

Inferior

Allis también estimó que la complejidad del árbol de caza era de al menos 10^123, "sobre la base de un factor de ramificación medio de 35 y una longitud media de la caza de 80". 

Estimaciones precisas

John Tromp y Peter Österlund estimaron el número de posiciones de ajedrez legales con un nivel de confianza del 95% en 4.822 ± 0.028) x 10^44, basado en una biyección eficientemente computable entre números enteros y posiciones de ajedrez.

Número de partidas de ajedrez sensatas

En comparación con el número de Shannon, si se analiza el ajedrez por el número de partidas "razonables" que se pueden jugar (sin contar las jugadas ridículas u obvias que pierden partidas, como mover una dama para ser capturada inmediatamente por un peón sin compensación), entonces el resultado está más cerca de alrededor de 10⁴⁰ partidas sensatas. Esto se basa en tener una opción de aproximadamente tres movimientos sensatos en cada capa (medio movimiento) y una duración de juego de 80 capas (o, equivalentemente, 40 movimientos). 

Información procedente de Wikipedia.