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Matemáticas recreativas en Radio Euskadi

Todos los jueves, los aficionados radioyentes de Radio Euskadi pueden estrujarse el cerebro con un rincón muy especial en nuestro "Graffiti". El matemático Raúl Ibáñez nos hace ver que las matemáticas pueden ser interesantes, atractivas y un fenomenal pasatiempo. Cada semana se plantea un problema para resolver y comunicarla a través de e-mail, foros, teléfono del oyente,... Temas como Apofenia, El número 23 , 300 años del nacimiento de Euler, El Grupo Oulipo, o las Matemáticas en la Literatura. El principio del Palomar,...

Para más información conviene visitar www.divulgamat.net.

Sonido familiar

©Mikel AgirregabiriaUna historia que les sonará familiar, acerca de un medio donde el sonido se propaga lastimosamente lento.

Hace muchos siglos los pensadores intuyeron que el sonido se propaga en el aire como las ondas en el agua. Los primeros fueron el filósofo griego Crisipo (año 240 a. C.) y el arquitecto romano Vitruvio (siglo I a. C.). Hubo de esperarse hasta el siglo XVII, para conocer con mayor detalle la transmisión del sonido tras establecer Galileo la base del “método científico”.

Fue el propio Galileo (1564-1642) quien calculó por primera vez la velocidad del sonido, de una forma sencilla. Con la colaboración de un artillero, una medianoche dispararon una salva (sólo con pólvora), mientras observaban desde un monte próximo, a unos 3.500 metros del cañón. Con ayuda de un primitivo reloj inventado por Galileo, el "pulsilogium", contaron el tiempo transcurrido desde que se vio el fogonazo hasta que se oyó el estruendo. Fueron aproximadamente 10 segundos, por lo que Galileo exclamó en voz alta: ¡350 metros por segundo!

Poco después, el monje y matemático francés Marin Mersenne (1588-1648) realizó medidas precisas del retorno de un eco y calculó un valor más exacto de la velocidad del sonido. Por ello, Mersenne es considerado el padre de la Acústica, si bien es mucho más conocido en el mundo matemático por sus famosos (números) primos. En 1660, el científico inglés Robert Boyle (1627-1691) demostró que el sonido necesitaba un medio gaseoso, líquido o sólido para su transmisión, comprobando que una campana era inaudible en el vacío. El gran físico británico Isaac Newton (1643-1727) demostró que la propagación del sonido a través de cualquier fluido depende de sus propiedades, como la elasticidad o la densidad.

El siglo XVIII permitió el desarrollo del cálculo, con contribuciones de científicos suizos como Johann Bernoulli (1667-1748) y Leonhard Euler (1707-1783), y franceses, como Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) y Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813). Finalmente, en el siglo XIX se alcanzó una descripción completa del sonido mediante el análisis armónico, desarrollado en 1822 por el matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) y aplicado al sonido por el físico alemán Georg Simon Ohm (1789-1854).

El sonido es una vibración que recorre un material haciendo que sus moléculas se contraigan o expandan. Por ello, el sonido no viaja en el vacío, a diferencia de las ondas electromagnéticas (como la luz) que no necesitan ningún éter de soporte. La velocidad del sonido varía según el medio y la temperatura: En aire a 20ºC viaja a 343 m/s, en aire a 100ºC a 390 m/s; en agua a 20ºC llega a 1.483 m/s y en acero alcanza los 5.060 m/s.

Sorprendentemente existe un medio, el entorno familiar, donde el sonido se oye casi instantáneamente… pero se escucha al cabo de una generación. Los padres damos múltiples consejos a nuestros hijos durante sus etapas infantil y juvenil: Estudia, aprende, lee, organízate, escucha a tus mayores, elige buenas amistades,… Los niños parece que atienden, pero no lo aplican. Los jóvenes lo rechazan directamente. Pero hay que insistir… El sonido les va llegando… muy vagamente. Los progenitores no debemos desesperar… Continuemos día tras día con buenos consejos y con mejores ejemplos.

Aparentemente pasan los años infructuosamente… Hasta que un día, tu hijo o tu hija te sorprenden. Me está pasando recientemente, de forma reiterada. Por ejemplo, uno de mis hijos me cuenta: “Anoche, tras revisar lo que puede del temario, me fui a dormir pronto para estar despejado por la mañana. Creo que fue una buena decisión, porque he rendido más en el examen”. Le contesto: “Has hecho muy bien, en lugar de estar toda la noche repasando y llegar dormido a la prueba. ¿Quién te lo ha aconsejado?”. Respuesta de nota: “¡Aita (papá en lengua vasca)!, ¿te has olvidado que tú siempre nos lo dices?”.

La humanidad ha conseguido construir artefactos, como el avión supersónico X-43 de la NASA que vuela a 11.265 km/h y supera en más de 10 veces la barrera del sonido (Mach 10). Pero hemos de mejorar mucho la educación para que en la comunicación familiar, la velocidad de propagación de la sabiduría de los abuelos no requiera toda una generación para ser traspasada a los padres, y otra generación para alcanzar a los nietos.

Versión final en: http://mikel.agirregabiria.net/2005/sonido.htm

La ecuación más bella

Apreciar la elegancia matemática de una fórmula científica está al alcance de todos.

Recientemente la revista Physics World proponía la recurrente pregunta de cuál es la fórmula más distinguida del Parnaso científico-matemático. Las respuestas brotaban y se publicaron en diferentes meses del presente año 2004. En marzo se apostaba por enunciados cronológicamente más novedosos, tales como la archiconocida ecuación de Einstein E = m . c2; la de Planck-Einstein, E = h . f, que mediante una constante enlaza energía con frecuencia en la física cuántica; la erótica y compleja ecuación ondulatoria de Schrödinger, así como otras de Dirac, Yang-Mills, Drake o Shannon e, incluso, por fórmulas químicas como la descomposición del ozono: O3 -> O2 + O.

En mayo las ecuaciones se retrotraían a la historia previa al siglo XX, introduciéndose igualdades clásicas de aprendizaje obligatorio, como la Segunda Ley de Newton (el mayor científico y matemático de todos los tiempos), F = m . a (fuerza igual a masa por aceleración), o la ley de Galileo (el creador del método científico) sobre la caída libre según el modelo de movimiento uniformemente acelerado, s = ½ a . t2.

En octubre se propuso una encuesta y se recibieron 120 respuestas con 50 ecuaciones propuestas. Media docena de personas planteó la ecuación más elemental: 1 + 1 = 2 (en broma alguien podría matizar 1$ + 1 $ = 2$). Personalmente, prefiero el mensaje 2 + 1 = 3, que utilicé con el nacimiento de mi primera hija, imitando al matemático P.G. Lejeune-Dirichlet en su escueto y célebre telegrama.

Existe un unánime acuerdo general sobre lo que, indiscutiblemente y desde hace más de dos siglos se refrenda como la más bella ecuación descubierta hasta la fecha, la sublime y mística fórmula de Leonhard Euler: ei¶ + 1 = 0. Involucra de forma fascinante a los cinco números más emblemáticos de las matemáticas, 0, 1, i (unidad imaginara igual a raíz cuadrada de -1), y los números irracionales pi (3,141592…) y e (2,718281…, base de los logaritmos neperianos. Muchos de quienes contestaron dijeron "es la ecuación matemática más compleja y bella jamás escrita"; "increíble y maravillosa"; "llena de belleza cósmica" o "simplemente alucinante". Resulta conmovedor cómo interactúan la unidad imaginaria (i = √-1) con números irracionales (e y ∏) para producir la nada (el cero) con una simple suma con el 1. Esta escueta expresión algebraica contiene nueve conceptos matemáticos -una sola vez cada concepto-: e (el número natural), la operación exponencial, número PI, suma (o resta, según como se escriba), multiplicación, números imaginarios, igualdad, los números reales 1 y 0.

Los criterios estéticos también están presentes en las teorías matemático-científicas que describen las leyes de la naturaleza. Cuando le preguntaron al físico Paul Dirac si creía verdadera la inmortal fórmula de masa-energía de Einstein (sin duda una de las más exquisitas, E = m . c2), respondió sencillamente ante la polémica del momento: “¡Qué más da si es verdad o mentira; es tan bella!”. Steven Weinberg, premio Nobel de Física, confesó: "Creo que la general aceptación de la Teoría de la Relatividad General fue en gran parte debida al atractivo de la propia teoría, esto es, a su belleza".

La perfección de una fórmula radica en múltiples factores, como los elementos que la componen, el autor descubridor y el efecto histórico que originó. La ecuación de Einstein indujo el día más aciago de la raza humana, el 6 de agosto de 1945, con la explosión de la primera bomba atómica en Hiroshima. Ello llevó a que Einstein confesase días después que “Hubiese preferido ser fontanero”. Atendiendo a la trascendencia histórica, probablemente las ecuaciones de Maxwell, y en particular la Ley de Faraday, son las han configurado más decisivamente la era actual en sus parámetros científico-tecnológicos.

Dirac aseguraba que fue su sentido de la belleza lo que le permitió descubrir la ecuación del electrón, porque "es más importante alcanzar belleza en nuestras ecuaciones que hacer que cuadren con el experimento". Como ya advirtiera Weinberg: "No aceptaríamos ninguna hipótesis como teoría final si no fuera bella". Para Michio Kaku, la elegancia de una teoría posee dos propiedades esenciales: “Simetría unificadora y capacidad de explicar gran cantidad de datos experimentales mediante las expresiones matemáticas concisas”. Opinión coincidente con la de Weinberg: "La clase de belleza que encontramos en la Física radica en la magnificencia de la simplicidad y de la inevitabilidad”.

El método científico nos muestra el máximo criterio estético que rige en la naturaleza: la sencillez que contiene y explica las verdades más profundas. Las ciencias y las matemáticas nos cautivan por argumentos éticos y estéticos contundentes como ser logros conjuntos de la humanidad, escritos en el universal lenguaje matemático y que nos pueden proporcionar un futuro esperanzador a todos si son gestionados con inteligencia y bondad.