Buenos augurios para el año 2023, un número de Harshad

En matemáticas, un número de Harshad, o número de Niven, es un entero divisible entre la suma de sus dígitos en una base dada. Estos números fueron definidos por D. R. Kaprekar, un matemático indio. La palabra "Harshad" proviene del sánscrito, que significa gran alegría. Número de Niven toma su nombre de Ivan Morton Niven, un matemático canadiense y estadounidense, que presentó un artículo en 1997. 

Claro que también fueron números de Harshad los anteriores años 2020 (el de la pandemia) y 2022 (el de la invasión de Ucrania), y lo serán el 2024 y el 2025. Pero 2023 tiene muchas otras cualidades como demuestra metanumbers: Es capicúa en base hexadecimal 7E7 y es el producto de 17*7*17.

El grado de cumplimiento de los objetivos Smart que nos planteamos a primeros del año 2022 ha sido desigual: Logradas las metas de viajes, aunque no al extranjero, pero lejos de escribir lo propuesto, ni en posts ni en libros. Las tareas en AUVE, por cierto muy intergeneracionales como perseguíamos, nos han ocupado mucho, en detrimento de otras aspiraciones. Pero en pocas horas haremos nuevos propósitos para el año que llega, 2023.

Para quienes nacimos en un año (1953) terminado en 3, o que en esos años sucedieron temas tan vitales como encontrar el amor (1973) o tener algún descendiente (1983), estos años son los de cumple-décadas. Quien suscribe verá, Dios mediante, la entrada en la gloria de los septuagenarios en plena semana santa de abril, o celebraremos bodas de oro de noviazgo en julio. Considerando el peso cultural de quienes contamos en base 10, seguro que serán unos acontecimientos memorables.

Una imagen cercana y esperanzadora con navidad, Puente Colgante y ecología. 

Otros posts con Kaprekar o hablando de matemáticas recreativas.

Para concluir, uno de los vídeos de principio de año grabado en La Rioja.

El misterioso número 6174, Constante de Kaprekar

Magnífica explicación en el muy recomendable Canal YouTube de Derivando.

No es la primera vez que hablamos de Kaprehar, ni será la última. Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986), fue un adicto confeso de la teoría de los números aún siendo un maestro de escuela en una pequeña población india llamada Devlali o Deolali. En ocasiones era invitado a hablar en otros colegios sobre sus singulares métodos y sus fascinantes observaciones numéricas. Sin embargo, varios matemáticos indios se reían de sus ideas, calificándolas de triviales. 

Entre sus curiosidades recreativas descubiertas, destaca la Constante de Kaprekar, con ese misterioso número 6174, que presentó en la Conferencia Matemática de Madrás en 1949. Puedes probar a comprobar lo siguiente:

• Elige cualquier número de 4 cifras (sin que se repitan los cuatro dígitos). Por ejemplo: 1324
• Ordena las cifras de forma descendente. En nuestro ejemplo anterior sería: 4321.
• Ahora ordena las cifras de forma ascendente, es decir, de menor a mayor: 1234.
• Resta al número mayor el más pequeño: 4321 – 1234 = 3087.
• Repite el proceso,... y en un máximo de 7 pasos, siempre llegarás al 6174.
  

También sucede el mismo fenómeno con números de tres dígitos (sin repetir el mismo en las tres posiciones). Por ejemplo con 574: 754 - 457 = 297; 972 - 279 = 693; 963 - 369 = 594; 954 - 459 = 495 y ya siempre 954 - 459 = 495. En este caso, el número mágico es 495.

Este descubrimiento de Kaprekar no funciona con números de dos guarismos. Con números naturales de 2 cifras o de más de 4 cifras, este proceso de Kaprekar concluye no en un único dígito, sino en una serie limitada de números fijos según la longitud de los números. 

Curiosidades del número 153

1.- Es el número más pequeño que puede ser expresado como la suma de los cubos de sus dígitos: 153 = 1³ + 5³ + 3³

2.- Es igual a la suma de los factoriales de los números del 1 al 5: 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!
3.- La suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto: 1 + 5 + 3 = 9 = 3²

4.- La suma de sus divisores (excluyendo al propio número) también es un cuadrado perfecto: 1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 9². Además, como se puede ver, es el cuadrado de la suma de sus dígitos.
5.- Dando la vuelta a las cifras de 153 obtenemos el 351. Si los sumamos obtenemos 504, que cumple que su cuadrado es el número más pequeño que puede ser expresado como el producto de dos números diferentes cuyas cifras están invertidas: 153 + 351 = 504

504² = 288 · 882
6.- Puede ser expresado como la suma de todos los números enteros del 1 al 17: 153 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 15 + 16 + 17Esto significa que 153 es el decimoséptimo número triangular. Como su inverso, 351, también es un número triangular (suma del 1 hasta el 26) podemos decir que 153 es un número triangular invertible.
7.- Es un número de Harshad (o número de Niven), es decir, es divisible por la suma de sus dígitos: 153/(1 + 5 + 3) = 17. Como 351 también es un número de Harshad podemos decir que 153 es un número de Harshad invertible . Los números de Harshad fueron definidos por el matemático indio D. R. Kaprekar, del cual ya hemos hablado en Gaussianos.
8.- Puede ser expresado como el producto de dos números formados por sus dígitos: 153 = 3 · 51

9.- El número 135, formado por una recolocación de los dígitos de 153, puede ser expresado de esta curiosa forma: 135 = 1¹ + 3² + 5³

10.- La suma de todos los divisores de 153 es 234: 1 + 3 + 9 + 17 + 51 + 153 = 234
El producto de todos los divisores de 153 excepto el propio número es 23409: 1 · 3 · 9 · 17 · 51 = 23409. Y vemos que 23409 está formado por 234, que es la suma de todos los divisores de 153, y por 09, que es la raíz cuadrada de la suma de todos los divisores de 153 excepto el propio número (ver 4.-).
11.- Tomemos un número múltiplo de 3, elevemos al cubo cada una de sus cifras y sumemos esos cubos. Repitamos el proceso con el resultado obtenido. Al final llegaremos al 153. Veamos un ejemplo con el número 1011: 1³ + 0³ + 1³ + 1³ = 3

3³ = 27
2³ + 7³ = 351
3³ + 5³ + 1³ = 153 Podemos decir que a partir del 1011 alcanzamos el 153 con 4 ciclos y podemos representarlo así: 1011–>3–>27–>351–>153. Todos los números menores de 10000 llegan con este procedimiento al 153 en, como máximo, 13 ciclos. El número más pequeño que necesita 13 ciclos es el 177: 177–>687–>1071–>345–>216–>225–>141–>

–>66–>432–>99–>1458–>702–>351–>153
12.- La sumas de las potencias 0, 1 y 2 de sus dígitos es igual al producto de ellos: 1⁰ + 5¹ + 3² = 1 · 5 · 3

13.- Si π(x) (Pi(x)) representa el número de primos que hay menores que x, se cumple lo siguiente: π(153) = π(15) · 3! (Pi(153) = Pi(15) · 3!)
14.- En 6.- hemos visto que 153 es el número triangular número 17. Trabajemos con su inverso: 1/153 = 0,006535947712418300653594…
Vemos que es periódico de período 0065359477124183. Quitemos los dos ceros y consideremos el resto. Unamos esta información con la posición que ocupa el 153 entre los números triangulares, la 17. Multipliquemos ahora esa parte del período por los sucesivos múltiplos de 17. Obtenemos lo siguiente:
65359477124183 · 17 = 1111111111111111
65359477124183 · 34 = 2222222222222222
65359477124183 · 51 = 3333333333333333
65359477124183 · 68 = 4444444444444444
65359477124183 · 85 = 5555555555555555
65359477124183 · 102 = 6666666666666666
65359477124183 · 119 = 7777777777777777
65359477124183 · 136 = 8888888888888888
65359477124183 · 153 = 9999999999999999
Realmente curioso el número, ¿verdad?. Si sabéis o encontráis alguna propiedad más de este número tan interesante no dudéis en comentarla. Fuentes: Web de Shyam Sunder Gupta & World! Of Numbers. (Dedicado a quienes nacimos en el mágico año 1953)