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Mikel Agirregabiria, Presidente de AUVE en España
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Juego del ultimátum y variante del dictador: Economía o justicia
El Juego del Ultimátum en su versión más elemental pero muy ilustrativa, funciona así: El Jugador A ("proponente") debe repartir con el Jugador B ("respondedor") cierta suma, por ejemplo 100€, "caída del cielo como maná", cuyo monto es conocido por ambos. El Jugador A tiene derecho a decidir el reparto, pero su propuesta solo prosperará si el Jugador B la acepta: si la rechaza, ambos se quedarán sin nada. No hay más vueltas en la negociación, por lo que se trata de un ultimátum.
El Juego del Ultimátum fue descrito en 1982 por el economista alemán Werner Güth en un célebre articulo: "An experimental analysis of ultimatum barganing", en colaboración con sus alumnos Rolf Schmittberger y Bernd Schwarze, Se usa como evidencia contra las teorías del homo economicus pues muestra que las elecciones sobre criterios de justicia y equidad priman sobre las de beneficio. En este sentido, podemos decir que el homo economicus solo basa su utilidad en los pagos materiales, pero así podemos demostrar que en la realidad hay otras cosas que importan al individuo.
La Teoría de Juegos sugiere que si B es perfectamente racional deberá aceptar lo que le ofrezca A, por poco que sea, pues su alternativa es quedarse sin nada; y A, conociendo la situación claudicante de B, explotará su posición de "repartidor" y se quedará con casi todo. Ahora bien, un A tan racionalmente tacaño ¿no correrá el riesgo de que B, en un arrebato de dignidad, se subleve y prefiera quedarse sin nada a recibir tan solo "migajas"?
Los numerosos experimentos que economistas, psicólogos e incluso antropólogos han llevado a cabo con este juego han arrojado dos resultados típicos.
- La oferta más frecuente (moda) suele ser el reparto por mitades (50-50), aunque el promedio (media aritmética) suele ser 60-40. En estos casos de win-win, de división más o menos equitativa, el Jugador B acepta y ambos logran una parte importante de la donación inicial.
- Si el juego se desarrolla entre dos personas frente a frente, los "respondedores" suelen rechazar aquellas propuestas de los oferentes que les ofrecen menos de un 20% o 25%. Cuando el reparto es desigual, como 80-20, los decisores B rehúsan en más de la mitad de los casos y ambos jugadores se quedan sin nada.
- Lo más curioso es que si el Jugador A es una máquina como un ordenador que ofrece cifras aleatorias, independientemente de la cantidad ofrecida y por ínfima que sea el Jugador B suele aceptar, porque -a fin de cuentas y desde una perspectiva meramente numérica- cualquier parte es un regalo y el dinero recibido por B no entra en comparación con el que se queda el ordenador A.
- Los seres humanos llevamos en nuestro ADN inscrito el concepto de justicia, por lo que aunque racionalmente cualquier regalo matemáticamente sea aceptable, estamos dispuestos a renunciar (y "pagar" o no cobrar por ello) si entendemos que ha habido abuso por parte de otra... persona.
- Existen diversidades culturales muy interesantes. Los indígenas de la tribu Machiguenga de la selva amazónica del Perú "no parecen sentirse obligados a ofrecer partes iguales; el 15%, la oferta más frecuente, les parece justa a la gran mayoría". Otro experimento con las comunidad gitana confirmaba su sentido de solidaridad y su reticencia a castigarse entre sí. Aceptaban cualquier reparto aduciendo que "si no ofreció casi nada, es porque lo necesita".
El algoritmo de Dios
Seguramente Ernő Rubik no imaginó “la que se iba a montar” con su juguete. Si ahora miramos hacia atrás, podemos comprobar que el cubo de Rubik, el rompecabezas que este profesor húngaro inventó en 1974 para ayudar a sus estudiantes a comprender ciertos problemas en tres dimensiones. Pero el Cubo de Rubik es el juguete más vendido de la historia.
¿Cuál es el máximo número de movimientos que necesitaríamos para resolver un cubo de Rubik, sea cual sea la posición inicial? Esto ha mantenido entretenidos a investigadores prácticamente desde la aparición de este rompecabezas. Existen, como ya hemos dicho, muchos tutoriales y manuales para resolver el cubo de Rubik comenzando desde cualquier posición, pero muchos de ellos nos “obligan” a realizar más movimientos de los que quizás podríamos haber hecho partiendo de la posición inicial que tengamos entre manos.
La cosa es que Dios, si existiera, seguro que dispondría de un algoritmo de resolución (es decir, una secuencia de pasos para resolver el cubo) totalmente eficiente, un algoritmo que resolviera el cubo de Rubik en el menor número de pasos posibles. A este algoritmo se le llamó Algoritmo de Dios, y al número máximo de movimientos necesarios para resolver cualquier cubo de Rubik se le denomina el Número de Dios.
Este número de Dios, que en 1981 estaba acotado entre 18 y 52, era el Santo Grial del cubo de Rubik, el número deseado por todos los amantes del estudio de la resolución de este rompecabezas. En 1990 ya lo teníamos acotado entre 18 y 42; en 1995 entre 20 y 29; en 2008 Tomas Rokicki lo reduce a entre 20 y 22; y, por fin, en 2010 Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson y John Dethridge demostraron que el Número de Dios es exactamente 20.
Esto significa que todo cubo de Rubik, sea cual sea la posición inicial de sus piezas, se puede resolver en, como mucho, 20 movimientos. Habrá posiciones iniciales que necesiten menos de 20 movimientos, pero no hay ninguna para la que estemos obligados a realizar más de 20. Y, además, está demostrado que este número no se puede mejorar, ya que se sabe que hay posiciones concretas que necesitan de exactamente 20 movimientos.
Por tanto, esta búsqueda está completamente cerrada: el número de Dios es 20. Si queréis más información sobre esto, vale la pena acudir a Cube20.
El Algoritmo de Dios (God's algorithm, AI) es un concepto originado en discusiones sobre formas de resolver el rompecabezas del Cubo de Rubik, pero que también se puede aplicar a otros rompecabezas combinatorios y juegos matemáticos. Se refiere a cualquier algoritmo que produzca una solución con la menor cantidad de movimientos posibles, siendo la idea que solo un ser omnisciente conocería un paso óptimo de cualquier configuración dada.
La noción se aplica a los rompecabezas que pueden disponer de un número finito de "configuraciones", con un arsenal relativamente pequeño y bien definido de "movimientos" que pueden ser aplicables a configuraciones y luego conducir a una nueva configuración. Resolver el rompecabezas significa llegar a una "configuración final" designada, una configuración singular o una de una colección de configuraciones. Para resolver el rompecabezas se aplica una secuencia de movimientos, partiendo de alguna configuración inicial arbitraria.
Se puede considerar que un algoritmo resuelve tal rompecabezas si toma como entrada una configuración inicial arbitraria y produce como salida una secuencia de movimientos que conducen a una configuración final (si el rompecabezas se puede resolver a partir de esa configuración inicial, de lo contrario, indica la imposibilidad de una solución). Una solución es óptima si la secuencia de movimientos es lo más corta posible. Este recuento se conoce como el Número de Dios, o, más formalmente, el valor minimax. El algoritmo de Dios, entonces, para un rompecabezas dado, es un algoritmo que resuelve el rompecabezas y produce solo soluciones óptimas.
Algunos escritores, como David Joyner, consideran que para que un algoritmo se denomine correctamente "Algoritmo de Dios", también debería ser práctico, lo que significa que el algoritmo no requiere cantidades extraordinarias de memoria o tiempo. Por ejemplo, el uso de una tabla de búsqueda gigante indexada por configuraciones iniciales permitiría encontrar soluciones muy rápidamente, pero requeriría una cantidad extraordinaria de memoria.
Algunos juegos bien conocidos con un conjunto muy limitado de reglas y movimientos simples y bien definidos nunca han tenido el Algoritmo de Dios para una estrategia ganadora determinada. Algunos ejemplos son los juegos de mesa ajedrez y go. Ambos juegos tienen un número de posiciones que aumenta rápidamente con cada movimiento. El número total de todas las posiciones posibles, aproximadamente 10^154 para el ajedrez y 10^180 (en un tablero de 19 × 19) para el go, es demasiado grande para permitir una solución de fuerza bruta con la tecnología informática actual (compare el ahora resuelto, con gran dificultad, el cubo de Rubik en solo aproximadamente 4.3×10^19 posiciones, es decir más de 43 trillones de posiciones).
En consecuencia, no es posible una determinación de fuerza bruta del algoritmo de Dios para estos juegos. Si bien se han construido computadoras de ajedrez que son capaces de vencer incluso a los mejores jugadores humanos, no calculan el juego hasta el final. El IBM Deep Blue, por ejemplo, buscaba solo 11 movimientos hacia adelante (contando un movimiento de cada jugador como dos movimientos), reduciendo el espacio de búsqueda a solo 10^17. Después de esto, evaluó la ventaja de cada posición de acuerdo con las reglas derivadas del juego y la experiencia humanos.
Por otro lado, las damas, con similitudes superficiales con el ajedrez, han sido sospechadas durante mucho tiempo de ser "jugadas" por sus expertos practicantes. En 2007, se demostró que esto era así calculando una base de datos de todas las posiciones con diez o menos piezas. Por lo tanto, tiene un Algoritmo de Dios para todos los juegos finales de damas y lo utilizó para demostrar que todos los juegos de damas perfectamente jugados terminarán en empate. Sin embargo, las damas con sólo 5×10^20 posiciones e incluso menos, 3.9×10^13, es un problema mucho más fácil de descifrar y es del mismo orden que el cubo de Rubik.
Transformada de coseno discreta (DCT), de Nasir Ahmed
Vía la IP Community y Twitter del guionista y director Dan Fogelman, hemos accedido a esta maravillosa historia. Nasir Ahmed era, hasta hace muy poco, un ingeniero desconocido y el hombre detrás del descubrimiento que permitió a la sociedad moderna enviar transmisiones de imágenes y vídeos a través de Internet. Desde 1975 su creación ha sido clave para que el mundo evolucione, pero solo en 2020 fue reconocido gracias al octavo episodio de la quinta temporada del programa "This is Us / Episode: In the Room".
Aparece acompañado por Esther Pariente, Queli, una tucumana que conoció en Estados Unidos. El algoritmo de Nasir Ahmed está siendo utilizado por miles de millones de cámaras todos los días, pero esta es la primera vez que Nasir y Queli, su esposa y su mayor apoyo, cuentan su historia a una cámara con sus propias palabras.
Nasir Ahmed (nacido en 1940 en Bangalore, India) es un ingeniero eléctrico e informático indio-estadounidense. Es profesor emérito de Ingeniería Eléctrica e Informática en la Universidad de Nuevo México (UNM). Es mejor conocido por inventar la Transformada de coseno discreta (DCT) a principios de la década de 1970.
El Algoritmo DCT es la transformación de compresión de datos más utilizada, la base de la mayoría de los estándares de medios digitales (imagen, video y audio ). Hoy día todavía se utiliza en las imágenes JPG y en las videoconferencias de Zoom y Whatsapp que todos seguimos utilizando durante la pandemia. También describió la transformada sinusoidal discreta (DST), que está relacionado con el DCT.
La Transformada de coseno discreta fue concebido por primera vez por Ahmed mientras trabajaba en la Universidad Estatal de Kansas, y propuso la técnica a la National Science Foundation en 1972. Originalmente pretendía la DCT para la compresión de imágenes. Nasir Ahmed desarrolló un algoritmo DCT funcional con su estudiante de doctorado T. Natarajan y su amigo KR Rao en 1973, y presentaron sus resultados en un artículo de enero de 1974.
El vídeo destaca a qué desafíos debieron enfrentarse ambos protagonistas en aquellos años. “El trabajo académico fue publicado en 1974, y desde entonces este algoritmo se convirtió en el recurso más eficiente para transferir una imagen o video comprimido para que lo puedas enviar a todo el mundo”, dijo Ahmed sobre su investigación.
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Cliodinámica: La historia predictiva de Peter Turchin
Cliodinámica es una área científica con un enfoque interdisciplinario que relaciona la modelación matemática con los procesos histórico-sociales a largo plazo, la historia teorética, la macrosociología histórica, la creación y el análisis de bases de datos históricos, las investigaciones sobre la evolución social, la demografía histórica,...
El neologismo se compone de Clio y dinámica. En la mitología griega, Clio es la musa de la historia y de la poesía épica. La dinámica, en términos generales, es el estudio de cómo y por qué los fenómenos cambian con el tiempo. Isaac Asimov inventó el precursor ficticio de esta disciplina, en lo que llamó psicohistoria, como un importante recurso argumental en su serie de, al menos 16, novelas de ciencia ficción Foundation. 
El término Cliodinámica fue acuñado originalmente por Peter Valentinovich Turchin en 2003, un científico ruso-norteamericano, doctor en zoología, autoridad mundial en escarabajos de pino, y fundador del Banco de Datos Seshat, nombre inspirado en Seshat, la diosa egipcia de la escritua y la historia.
Pero esta nueva disciplina se remonta al trabajo de figuras como Ibn Khaldun, el filósofo catalán Alexandre Deulofeu (autor de La Matemática de la Historia), el sociólogo Jack Goldstone, el físico Sergey Kapitsa, Randall Collins, John Komlos, o el historiador Andrey Korotayev.
También fueron determinantes para el desarrollo de la cliodinámica autores como Leonid Borodkin, Gueorgui Malinetsky, Yuri Pavlovsky, Andrey Korotayev, Serguei Malkov, Artemi Malkov, Serguei Nefedov, Andrei Podlazov, Heinz von Foerster,...
La Cliodinámica trata la historia como una ciencia. Sus practicantes desarrollan teorías que explican este tipo de procesos dinámicos como el ascenso y la caída de los imperios, los auges de población, y la difusión y la desaparición de las religiones. Estas teorías se traducen en modelos matemáticos de big data. Finalmente, las predicciones del modelo se prueban con datos. Por lo tanto, la construcción y el análisis de bases de datos masivas de información histórica y arqueológica es uno de los objetivos más importantes de la cliodinámica.
La Cliodinámica surgió a base de la cliometría y la necesita como una fuente de “la materia prima” o sea de datos empíricos. Asimismo, cliometría necesita una disciplina científica semejante a la cliodinámica que le sirva como fuente de las teorías y modelos que dirijan las investigaciones empíricas.
Actualmente la elaboración de las simulaciones matemáticas de los ciclos seculares demográfico-históricos y la simulación con mayor éxito del desarrollo duradero del Sistema-Mundo están consideradas como los logros principales de la Cliodinámica.
Los críticos de la cliodinámica a menudo argumentan que las complejas formaciones sociales del pasado no pueden ni deben reducirse a "puntos de datos" cuantificables y analizables, ya que al hacerlo pasan por alto las circunstancias y dinámicas particulares de cada sociedad histórica. Muchos historiadores y científicos sociales sostienen que no hay factores causales generalizables que puedan explicar un gran número de casos, pero que la investigación histórica debe centrarse en las trayectorias únicas de cada caso, destacando los puntos en común en los resultados en los que existe. Como señala Dingxin Zhao, "la mayoría de los historiadores creen que la importancia de cualquier mecanismo en la historia cambia y, lo que es más importante, que no existe una estructura invariante en el tiempo que pueda organizar todos los mecanismos históricos en un sistema".
Los cliodinámicos, por otro lado, sostienen que existen patrones macrohistóricos a gran escala que pueden explicar la dinámica histórica de la mayoría de los casos conocidos, y que estos patrones pueden descubrirse mediante un análisis matemático sistemático. Argumentan que la capacidad de la investigación de la Cliodinámica para exponer estos patrones y explicar los eventos históricos demuestra la viabilidad del enfoque.
Can history teach us anything about the future of war – and peace? by @lfspinney
— Peter Turchin (@Peter_Turchin) November 7, 2021
https://t.co/bGvyomfnnt
El misterioso número 6174, Constante de Kaprekar
Magnífica explicación en el muy recomendable Canal YouTube de Derivando.
No es la primera vez que hablamos de Kaprehar, ni será la última. Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986), fue un adicto confeso de la teoría de los números aún siendo un maestro de escuela en una pequeña población india llamada Devlali o Deolali. En ocasiones era invitado a hablar en otros colegios sobre sus singulares métodos y sus fascinantes observaciones numéricas. Sin embargo, varios matemáticos indios se reían de sus ideas, calificándolas de triviales.
Entre sus curiosidades recreativas descubiertas, destaca la Constante de Kaprekar, con ese misterioso número 6174, que presentó en la Conferencia Matemática de Madrás en 1949. Puedes probar a comprobar lo siguiente:
- Elige cualquier número de 4 cifras (sin que se repitan los cuatro dígitos). Por ejemplo: 1324
- Ordena las cifras de forma descendente. En nuestro ejemplo anterior sería: 4321.
- Ahora ordena las cifras de forma ascendente, es decir, de menor a mayor: 1234.
- Resta al número mayor el más pequeño: 4321 – 1234 = 3087.
- Repite el proceso,... y en un máximo de 7 pasos, siempre llegarás al 6174.
También sucede el mismo fenómeno con números de tres dígitos (sin repetir el mismo en las tres posiciones). Por ejemplo con 574:
754 - 457 = 297; 972 - 279 = 693; 963 - 369 = 594; 954 - 459 = 495 y ya siempre 954 - 459 = 495. En este caso, el número mágico es 495.
Este descubrimiento de Kaprekar no funciona con números de dos guarismos. Con números naturales de 2 cifras o de más de 4 cifras, este proceso de Kaprekar concluye no en un único dígito, sino en una serie limitada de números fijos según la longitud de los números.
Los diez mandamientos de la Lógica
La lógica se puede resumir, o casi, en este decálogo:
- No atacarás a la persona, sino al argumento (Ad hominem).
- No malinterpretarás o exagerarás el argumento de una persona para debilitar su postura (falacia del Hombre de paja).
- No tomarás una pequeña parte para representar el todo (Generalización apresurada o Secundum quid).
- No intentarás demostrar una proposición suponiendo que una de sus premisas es cierta (Petición de Principio o Petitio principii).
- No asegurarás que algo es la causa simplemente porque ocurrió antes (Causalidad falsa o Post hoc ergo propter hoc).
- No reducirás discusión solo a dos posibilidades (Falso dilema).
- No afirmarás que por la ignorancia de una persona, una afirmación ha de ser verdadera o falsa (Llamada de ignorancia o Ad ignorantiam).
- No dejarás caer la carga de la prueba sobre aquel que está cuestionando una afirmación (Carga de la prueba o Onus probandi).
- No asumirás que “esto” sigue “aquello” cuando no existe conexión lógica alguna (Non sequitur).
- No asumirás que una afirmación por ser popular debe ser cierta (Sofisma popular o Argumento ad populum).
Sesgo del Superviviente o Efecto Composición, gracias a Abraham Wald
Pero Abraham Wald, un matemático, llegó a una conclusión completamente diferente: los puntos rojos solo representaban el daño en los aviones que pudieron regresar sin caer derribados.
Las áreas que realmente deberían reforzar, eran los lugares donde no había impactos, porque esos son los lugares donde el avión no sobreviviría al ser golpeado.
Este fenómeno se llama sesgo de supervivencia. Es cuando miramos las cosas que sobrevivieron cuando en realidad deberíamos centrarnos en las que no están a nuestro alcance.
Abraham Wald fue un matemático húngaro (nacido en lo que actualmente es Rumanía) experto en análisis estadístico y econométrico, geometría y teoría de la decisión. En 1931 se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Viena bajo los auspicios de Karl Menger (el hijo del famoso economista), pero pese a su brillantez nunca le dejaron acceder a un puesto universitario: era judío, y el gobierno austríaco pro-nazi de entonces no lo permitía.
En 1938, temiendo por su vida, Abraham Wald emigró a Estados Unidos, aprovechando una invitación de la Comisión Cowles para la Investigación Económica (cuna de numerosos premios Nobel de Economía). Un día, en plena Segunda Guerra Mundial, recibió una visita inesperada de unos representantes del servicio de análisis del ministerio de Defensa para pedirle consejo. En la reunión le enseñaron un gráfico parecido al que encabeza esta entrada.
Este problema se conoce como “sesgo de supervivencia” o “sesgo del superviviente”, un sesgo cognitivo de selección derivado de considerar en un proceso sólo a las personas o elementos supervivientes, obviando la consideración de los desaparecidos por no ser observables en una muestra (que deja de ser representativa de la población).
Este sesgo está relacionado en el ámbito de la estadística con lo que se conoce como “efecto composición”, o efecto derivado de la variación de los componentes de una muestra, y que altera las medidas centrales y de dispersión, lo que puede desvirtuar el análisis. Sala-i-Martí lo describe muy bien con un sencillo ejemplo: supongamos que en una economía hay tres trabajadores que cobran 1.000, 2.000 y 3.000 euros, respectivamente, de modo que la media salarial es de 2.000 euros. Si la economía va bien y todos experimentasen una subida salarial del 10%, el salario medio subiría también un 10%. Ahora imaginemos, sin embargo, que hay una crisis y que despiden al que cobraba 1.000 y congelan el salario de los demás. El resultado es que el salario medio ha subido y es ahora de 2.500, cuando nadie ha visto un euro más.
El sesgo de supervivencia (y el efecto composición) se da también a menudo en la selección de la muestra de empresas que ocupan a dichos trabajadores. Así, en un análisis de cómo han evolucionado los salarios de las empresas durante una crisis económica muchas veces se consideran tan sólo las empresas de cada año, es decir, las supervivientes, obviando los efectos de las empresas que han cerrado y cuyos salarios dejan de computarse (o cuyos trabajadores, una vez re-empleados, podrían estar dispuestos a aceptar salarios menores).
El sesgo de supervivencia también se manifiesta en otros escenarios: en el del consumidor, cuando decimos que la música de los 80 era mejor que la actual estamos quizás siendo víctimas del sesgo de supervivencia, ya que la muestra de la música de nos llega de esa época ha sido previamente filtrada de toda la música mediocre que también existía entonces, pero que no sobrevivió.
Por cierto, Abraham Wald no sobrevivió mucho tiempo para acrecentar su justa fama: falleció en 1950 –ironías de la vida– en un accidente de aviación al sur de la India, donde estaba impartiendo conferencias por invitación del gobierno de ese país. Pero muchos pilotos que conocen su historia siguen recordándole cada vez que aterrizan sanos y salvos tras un difícil vuelo.
Abraham Wald afinó lo que se llama el análisis estadístico secuencial del fenómeno conocido como el sesgo estadístico de supervivencia. La generalización a partir de observaciones sesgadas distorsiona la percepción de la realidad. Ese sesgo cognitivo se manifiesta en muchos fenómenos. Está, por ejemplo, en el desarrollo de software, la preparación de oposiciones o en el pesimismo de las noticias publicadas. Ahora mismo hay millones de personas compartiendo noticias. Sucediendo que las noticias que se toman como tal no suelen ser buenas. Transmitiéndose la errónea sensación de que la humanidad no deja de empeorar.
Falacia del Concorde y otros costes irrecuperables (sunk costs)
El concepto denominado "falacia del Concorde" es un caso paradigmático de los "costes irrecuperables" (sunk costs). Se debe a que este prodigioso avión único significó grandes inversiones por parte de la alianza anglo-francesa, y se decidió seguir adelante pese a los constantes sobrecostes, debido a que no quería perderse el trabajo previo hecho y la fuerte inversión ya consumida.
Aunque se veía con claridad que era un negocio ruinoso, se mantenía el ingente gasto que había costado poner el Concorde en marcha y por las ilusiones que se habían depositado en él. Finalmente se decidió abandonar y dar por perdido el dinero. El Concorde, orgullo de la tecnología europea, entró en pérdida (como se dice en aviación) y ya es historia.
El biólogo evolutivo Richard Dawkins acuñó en política situaciones de costes irreversibles como la “falacia de nuestros muchachos no han muerto en vano”. Así es como los estadounidenses fueron acumulando muertos año tras año hasta que se fueron del Vietnam. Por no admitir que unos cientos de jóvenes americanos habían muerto en vano, la prolongación de la guerra de Vietnam condujo a que los soldados-muertos-en-vano fueran cerca de 59.000 norteamericanos.
Esta "aversión a la pérdida" es uno de los muchos e interesantes "sesgos cognitivos" que nos gustan repasar para aprender en cabeza ajena. Otro fenómeno relacionado es la, casi siempre falsa, hipótesis de que "dos errores hacen un acierto".
Efectos similares se producen en la extendida Falacia del jugador, otro conocido sesgo psicológico que erróneamente supone que los sucesos pasados ALEATORIOS afectan a los futuros. Como lo de las bombas nunca caen en el mismo sitio o el célebre chiste de matemáticos que demuestra la falsedad. Cuando vuela en avión, un hombre decide llevar siempre una bomba consigo. «Las probabilidades de que en un avión haya una bomba son muy pequeñas —razona—, ¡así que las probabilidades de que haya dos son casi nulas!»
Tras esta derrota, que dejó desguarnecida la frontera y hubiera permitido a los germanos llegar hasta la misma Roma, el limes retrocedió desde el Elba al Rin, abandonándose la efímera provincia Germania Magna, y así permanecería hasta el fin del imperio romano. Este gravísimo error supuso un duro golpe para el prestigio militar de Roma, hasta el punto de que los números de las legiones derrotadas (XVII, XVIII y XIX) nunca más volvieron a utilizarse.
Suetonio dejó escrito que Augusto, meses más tarde y aún afectado por el desastre, golpeaba la cabeza contra las paredes repitiendo: "Quintili Vare, legiones redde" (Quintilio Varo, devuélveme mis legiones)".
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14 de marzo: Pi Day 2021
Dato curioso. No solo es el día del número Pi. También es el día en que nace Albert Einstein en 1879 y es el día en que muere Stephen Hawking en 2018. #PiDay #PiDay2021 #diainternacionaldelasmatematicas #Einstein #stephenhawking pic.twitter.com/uJXrz8hlnB
— Alvaro Jose Cano (@Astrofanaticos) March 14, 2021
Para destacar el papel fundamental que desempeñan las matemáticas se declaró el 14 de marzo (#PiDay) como el #DíaInternacionalDeLasMatemáticas ❤. pic.twitter.com/smy8P7shpS
— Rebecca Azulay (@reb0704) March 13, 2021
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