La paradoja de Bertrand es un problema en probabilidad planteado por el matemático francés Joseph Bertrand en 1889. Muestra cómo el resultado de un problema probabilístico puede depender de la manera en que se define el conjunto de posibilidades, lo que genera respuestas diferentes para una misma pregunta.
Analicemos el Problema: Se trata de un círculo con un triángulo equilátero inscrito. La pregunta es: “Si elegimos al azar una cuerda dentro del círculo, ¿cuál es la probabilidad de que su longitud sea mayor que la del lado del triángulo?”
El problema tiene al menos tres métodos razonables para seleccionar la cuerda, y cada uno da una respuesta diferente:
1. Método del punto extremo: Se elige un punto al azar en la circunferencia y se traza una cuerda con otro punto también al azar. Para calcular la probabilidad se imagina el triángulo rotado de forma tal que un vértice coincida con uno de los puntos. Observe que si el otro punto final de la cuerda está en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto, entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio (1/3). Resultado: 1/3 (33.3%)
2. Método del radio aleatorio: Se elige un radio al azar y luego un punto aleatorio en él para definir una cuerda perpendicular. Para calcular la probabilidad se imagina al triángulo rotado de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes de la intersección del lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un medio. Resultado: 1/2 (50%)
3. Método del punto medio: Se elige un punto al azar dentro del círculo y se considera la cuerda cuya mitad es ese punto. La cuerda es más larga que un lado del triángulo inscrito si el punto cae en el círculo concéntrico de la mitad del radio grande. El área del círculo pequeño es un cuarto del área del círculo grande, por lo que la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un cuarto. Resultado: 1/4 (25%)
En conclusión, la paradoja de Bertrand ilustra que en ciertos problemas de probabilidad, definir correctamente lo que significa “al azar” es crucial. Dependiendo de cómo se modele la selección de las cuerdas, se obtienen resultados distintos. Esto pone en evidencia la necesidad de precisar los supuestos cuando se trata de probabilidades en espacios continuos.
No confundir con la paradoja de Russell.
Otros muchos posts sobre paradojas.
One of the most remarkable problems in probability theory is certainly the Bertrand's paradox. It is relevant not only in #math, indeed it also shows the ambiguity of some apparently intuitive ideas in physics.
— Leonardo Petrillo (@92sciencemusic) April 10, 2024
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El 11 de marzo de 1822 nació Joseph Louis François Bertrand. Fue un matemático francés conocido por conjeturar, en 1845, el postulado de Bertrand, el cual fue demostrado por Pafnuti Chebyshov en 1850. También es famoso por la Paradoja de Bertrand en el campo de la probabilidad. pic.twitter.com/7POoGuerv0
— Diagonalizando (@diagonalizando) March 11, 2024
